يعتبر الوسط الحسابي من مقاييس النزعة المركزية (الوسط ـ الوسيط ـ المنوال ـ ... ) ويعتبر الوسط الحسابي أكثر المقاييس استخداماُ ويعرف كالآتي:
الوسط الحسابي لمجموعة من القيم عددها ن هو القيمة التي لو حلت محل كل قيمة في مجموعة القيم لكان مجموع القيم الجديدة مساوياً لمجموع القيم الأصلية.
وببساطة الوسط الحسابي هو مجموع القيم (س1، س2 ، س3 ، ... ، سن ) مقسوماً على عددها (ن) ويرمز له بالرمز س أو X، وتقرأ سين بار ، أكس بار ونحن هنا بصدد العينة وفي حالة المجتمع يرمز للوسط الحسابي بالرمز μ ويقرأ ميو وعدد القيم N أي أنَّ:
وفي حال وجود أكثر من مجموعة فيكون الوسط الحسابي هو:
ـــ
حيث أن x1 هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n1
ـــ
حيث أن x2 هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n2
ـــ
حيث أن x3 هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n3
...................................................................................
...................................................................................
...................................................................................
ـــ
حيث أن xn هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها nn
مثال(11)
الوسط الحسابي لدرجات 40 طالب في الإحصاء هو 64 ولمخالفة 3 طلاب أنظمة الامتحان فقد استبعدت درجاتهم وهي 60، 65، 40 . هل يتأثر الوسط الحسابي بهذا التغيير؟ وإن كان فاحسب الوسط الحسابي الجديد.
الحـل:
نعلم بأن الوسط الحسابي يتأثر بالتغير في المفردات بالزيادة والنقصان والضرب والقسمة، فالوسط الحسابي الجديد يتغير لكونه يساوي مجموع الدرجات لكل المفردات على عددها ومن حيث أن المفردات نقصت فالوسط الحسابي يتأثر بهذا النقص.
مجموع الدرجات
الوسط الحسابي = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
عددها
مجموع الدرجات
64 = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
40
مجموع الدرجات = 64 × 40 = 2560
استبعدت درجات 3 مفردات مجموعها = 60 + 65 + 40 = 165
مجموع الدرجات الجديد = 2560 – 165= 2395
عدد الطلاب انخفض من 40 إلى 37
2395
الوسط الحسابي الجديد = ـــــــــــــــــــــ
37
= 64.729
≈ 65
لاحظ: قد يحدث عدم تغير في الوسط الحسابي نتيجة الصدفة فلو كانت الدرجات الثلاثة المحذوفة هي 60 ، 62، 70 لحصلنا على وسط جديد يساوي 64 نفس الأول؟
مثال أخر
مثال(14)
إذا كان ل هو الوسط الحسابي للقيم 2 ، 6 ، 7 ، 9 ، 13 فما قيمة الوسط الحسابي للقيم 4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26 بدلالة ل
الحـل:
من حيث أن الوسط الحسابي = مجموع القيم على عددها فإنَّ:
ل = (2 + 6 + 7 + 9 + 13) ÷ 5
5 ل = (2 + 6 + 7 + 9 + 13)
الوسط الحسابي للقيم 4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26 = مجموعها ÷ 5
=(4 + 12 + 14 + 18 + 26) ÷ 5
= 2( 2 + 6+ 7 + 9 + 13) ÷ 5
= 2 × 5 ل ÷ 5
= 2 ل
أو :
بحساب ذلك من مفهوم تأثر الوسط الحسابي بالعمليات الحسابية على قيمه فالقيم الجديدة ( 4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26) هي القيم السابقة ( 2 ، 6 ، 7 ، 9 ، 13) مضروب مفرداتها في 2 ومن حيث الوسط الحسابي ل للأولى فالقيم الجديدة وسطها الحسابي هو ل × 2 = 2 ل
لاحظ:
المتوسط الحسابي للقيم 1 ، 5 ، 6 ، 8 ، 12 هو ل – 1 لأن هذه القيم هي القيم السابقة مطروح من مفرداتها العدد 1
المتوسط الحسابي للقيم 6 ، 10 ، 11 ، 13 ، 17 هو ل + 4 لأن هذه القيم هي القيم السابقة مضاف لكل من مفرداتها العدد 4
المتوسط الحسابي للقيم 1 ، 3 ، 3.5 ، 4.5 ، 6.5 هو ½ل لأن هذه القيم هي القيم السابقة مقسوم كل من مفرداتها على العدد 2
كما يمكن إجراء أكثر من عملية كإضافة عدد لكل مفردة ثم قسمة النواتج على عدد فالوسط الجديد = الوسط السابق مضاف له العدد ومن ثم يقسم على العدد الآخر.
مثال :
مثال(13)
1) العلامات 40 ، 16 ، 80 ، 100 ، س تائية فما قيمة س
2) العلامات 4 ، 6 ، 9 ، 10 ، س زائية فما قيمة س
3) العلامات 70 ، 80 ، 90 ، 100 ، س ساتية (AST) فما قيمة س
الحـل:
مجموع العلامات التائية = 50 ن والزائية = 0 والساتية = 500 ن وذلك من:
T= 10Z + 50
∑T = 10∑Z + 50n
∑T = 50n ,such as ∑Z=0
∑T = 50n
بالمثل للدرجات الساتية يكون مجموعها 500ن
SAT= 100Z + 500
∑(SAT) =100∑Z + 500n
∑SAT = 500n ,such as ∑Z=0
∑SAT = 500n
بناء على ما سبق يكون:
1) 14+ 16 + 80 + 100 + س = 50 × 5
210 + س = 250
س = 40
2) 4 – 6 + 9 – 10 + س = 0
13 – 15 + س = 0
س = 2
3) 600 + 700 + 400 + 500 + س = 500 ×5
2200 + س = 2500
س = 160
