مثال (9) الوسط الحسابي من بيانات مبوبة
(1) باستخدام البيانات الواردة في الجدول التالي لدرجات 60 طالب في مادة الإحصاء احسب الوسط الحسابي بطريقتين (مركز الفئة والوسط الفرضي)
| Total | 70 - 79 | 60 - 69 | 50 - 59 | 40 - 49 | 30 - 39 | 20 - 29 | 10 - 19 | Intervals |
| 60 | 7 | 9 | 14 | 12 | 8 | 6 | 4 | Frequency |
الحــل:
باستخدام مراكز الفئات(Mid Interval):
نكون جدول تكراري يضم مراكز الفئات وآخر يشمل F × X بالشكل التالي:
| F × X | Mid Interval (X) | Frequency (F) | Intervals |
| 58 | 14.5 | 4 | i10 - 19 |
| 147 | 24.5 | 6 | i20 - 29 |
| 276 | 34.5 | 8 | i30 - 39 |
| 534 | 44.5 | 12 | i40 - 49 |
| 763 | 54.5 | 14 | i50 - 59 |
| 580.5 | 64.5 | 9 | i60 - 69 |
| 521.5 | 74.5 | 7 | i70 - 79 |
| 2880 | 60 | Total |
الوسط الحسابي = 2880 ÷ 60
= 48
|
The Mean = 2880 / 60
= 48
|
باستخدام الوسط الفرضي
نكون جدول تكراري الفرق عن الوسط الفرضي 44.5 بالشكل التالي:
| F × D | Deviations (X – 44.5) | Mid Interval (X) | Frequency (F) | Intervals |
| – 120 | 14.5 – 44.5 = – 30 | 14.5 | 4 | 10 - 19 |
| – 120 | – 20 | 24.5 | 6 | 20 - 29 |
| – 80 | – 10 | 34.5 | 8 | 30 - 39 |
| 0 | 0 | 44.5 | 12 | 40 - 49 |
| 140 | 10 | 54.5 | 14 | 50 - 59 |
| 180 | 20 | 64.5 | 9 | 60 - 69 |
| 210 | 30 | 74.5 | 7 | 70 - 79 |
| 210 | 0 | 60 | Total |
الوسط الحسابي = 44.5 + (210 ÷ 60)
= 48
|
The Mean = 44.5 + (210 / 60 )
= 48
|
باستخدام الوسط الفرضي مع الاختصار (الطريقة المختصرة)
يمكن القسمة على طول الفئة (10) لعمود الفروق ( Deviations ) ووضع النواتج في عمود جديد كالتالي:
| F × (D/10) | Deviations /10 | Deviations (D) | Mid Interval (X) | Frequency (F) | Intervals |
| 4 ×(– 3) = – 12 | – 3 | – 30 | 14.5 | 4 | 10 - 19 |
| – 12 | – 2 | – 20 | 24.5 | 6 | 20 - 29 |
| – 8 | – 1 | – 10 | 34.5 | 8 | 30 - 39 |
| 0 | 0 | 0 | 44.5 | 12 | 40 - 49 |
| 14 | 1 | 10 | 54.5 | 14 | 50 - 59 |
| 18 | 2 | 20 | 64.5 | 9 | 60 - 69 |
| 21 | 3 | 30 | 74.5 | 7 | 70 - 79 |
| 21 | 60 | Total |
الوسط الحسابي = 44.5 + (21 ÷ 60) × 10
= 48
مثال(11)
الوسط الحسابي لدرجات 40 طالب في الإحصاء هو 64 بانحراف معياري قدره 5، حذفنا 4 علامات من كل طالب ثم ضربنا كل درجة من درجات الطلاب في 2. احسب كل من الوسط الحسابي والانحراف المعياري الجديد.
الحـل:
نعلم بأن الوسط الحسابي يتأثر بالتغير في المفردات بالزيادة والنقصان والضرب والقسمة في حين لا يتأثر الانحراف المعياري بالجمع والطرح ويتأثر بالضرب والقسمة.
الوسط الحسابي الجديد = (الوسط الحسابي الأول – 4 ) × 2
= (64 – 4) × 2
= 120
الانحراف المعياري الجديد = الانحراف المعياري الأول ÷ 2
= 5 ÷ 2
= 2.5
أو
مجموع الدرجات
الوسط الحسابي = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
عددها
مجموع الدرجات
64 = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ
40
مجموع الدرجات = 64 × 40 = 2560
استبعدت 4 درجات من كل مفردة فيكون مجموع الدرجات بعد الحذف:
مجموع الدرجات الجديد = 2560 – 40 × 4 = 2560 – 160 = 2400
ضربت كل مفردة في 2 أي ضاعفنا كل مفردة أو ضاعفنا مجموع الدرجات فيكون:
مجموع الدرجات الجديد بعد الحذف والضرب = 2400 × 2 = 4800
4800
الوسط الحسابي الجديد = ـــــــــــــــــــــ
40
= 120
(1) من الجدول التكراري الآتي:
أوجد قيمة الوسط الحسابي بطرقه المختلفة.
الحـل:
لاحظ: في البيانات المبوبة قانون الوسط الحسابي هو: X = (∑xi fi) / ∑fi`وللوسط الفرضي: X0 = (∑Di fi) / ∑fi`حيث أن: i = 1 , 2 , ... , n ، ∑fi = n
نكون الجدول الآتي:
Mean = 712 / 64
= 11.125
باستخدام الوسط الفرضي (Fictitious Mean):
نختار X0=11 كوسط فرضي.
Mean = 11 + 8 / 64
= 11 + 0.1257
= 11.125
باستخدام الطريقة المختصرة:
بإضافة عمود جديد بقسمة الانحرافات على طول الفئة:
Mean = 11 + (4 / 64) × 2
= 11 + 0.125
= 11.125
مثال(12)
مجتمع إحصائي مكون من 25 مفردة وانحرافه المعياري 6 فما قيمة مجموع مربعات انحرافات قيم المفردات عن متوسطها الحسابي.
الحـل:
نعلم أن العلاقة الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري هي :
مجموع مربعات انحراف القيم عن متوسطها
مربع الانحراف المعياري = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عددها
مجموع مربعات انحراف
36 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
24
مجموع مربعات انحراف = 36 × 25 = 900
لاحظ:
هناك علاقة أخرى تخص الانحراف المعياري للعينة وهي:
وفي حالة المجتمع نستبدل n – 1 بـ N (عدد القيم) وإن مربع الانحراف المعياري هو التباين σ2 فمثلاً:
لدينا 36 قيمة تكون مجتمع إحصائي وكان مجموع مربعات هذه القيم 196 في حين مجموع القيم نفسها يساوي 35 فما قيمة التباين؟
بتطبيق العلاقة السابقة نجد أنَّ:
175 – 35 × 35 ÷ 35 140
التباين = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = 4
35 35
لاحظ: الانحراف المعياري = 2
|
The Mean = 44.5 + (21 / 60 ) * 10
= 48
|
