ويكيبيديا الموسوعة المروانية MANT: فبراير 2016

بسم الله الرحمن الرحيم (يَرْفَعِ ٱللَّهُ ٱلَّذِينَ آمَنُواْ مِنكُمْ وَٱلَّذِينَ أُوتُواْ ٱلْعِلْمَ دَرَجَاتٍ وَٱللَّهُ بِمَا تَعْمَلُونَ خَبِيرٌ } العلم درجات: أولها الصمت، والثانية الاستماع، والثالثة الحفظ، والرابعة العمل، والخامسة النشر ***مروان طاهات*** يرحب بكم ويكيبيديا الموسوعة المروانية MANT

الأحد، 28 فبراير 2016

امثلة الوسط الحسابي 3

يعتبر الوسط الحسابي من مقاييس النزعة المركزية (الوسط ـ الوسيط ـ المنوال ـ ... ) ويعتبر الوسط الحسابي أكثر المقاييس استخداماُ ويعرف كالآتي:

الوسط الحسابي لمجموعة من القيم عددها ن هو القيمة التي لو حلت محل كل قيمة في مجموعة القيم لكان مجموع القيم الجديدة مساوياً لمجموع القيم الأصلية.

- -

وببساطة الوسط الحسابي هو مجموع القيم (س₁، س₂ ، س₃ ، ... ، س_ن ) مقسوماً على عددها (ن) ويرمز له بالرمز س أو X، وتقرأ سين بار ، أكس بار ونحن هنا بصدد العينة وفي حالة المجتمع يرمز للوسط الحسابي بالرمز μ ويقرأ ميو وعدد القيم N أي أنَّ:

وفي حال وجود أكثر من مجموعة فيكون الوسط الحسابي هو:

ـــ

حيث أن x₁ هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n₁

ـــ

حيث أن x₂ هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n₂

ـــ

حيث أن x₃ هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n₃

...................................................................................

ـــ

حيث أن x_n هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n_n

مثال(11)

الوسط الحسابي لدرجات 40 طالب في الإحصاء هو 64 ولمخالفة 3 طلاب أنظمة الامتحان فقد استبعدت درجاتهم وهي 60، 65، 40 . هل يتأثر الوسط الحسابي بهذا التغيير؟ وإن كان فاحسب الوسط الحسابي الجديد.

الحـل:

نعلم بأن الوسط الحسابي يتأثر بالتغير في المفردات بالزيادة والنقصان والضرب والقسمة، فالوسط الحسابي الجديد يتغير لكونه يساوي مجموع الدرجات لكل المفردات على عددها ومن حيث أن المفردات نقصت فالوسط الحسابي يتأثر بهذا النقص.

مجموع الدرجات

الوسط الحسابي = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

عددها

مجموع الدرجات

64 = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

مجموع الدرجات = 64 × 40 = 2560

استبعدت درجات 3 مفردات مجموعها = 60 + 65 + 40 = 165

مجموع الدرجات الجديد = 2560 – 165= 2395

عدد الطلاب انخفض من 40 إلى 37

2395

الوسط الحسابي الجديد = ـــــــــــــــــــــ

= 64.729

≈ 65

لاحظ: قد يحدث عدم تغير في الوسط الحسابي نتيجة الصدفة فلو كانت الدرجات الثلاثة المحذوفة هي 60 ، 62، 70 لحصلنا على وسط جديد يساوي 64 نفس الأول؟

مثال أخر

مثال(14)

إذا كان ل هو الوسط الحسابي للقيم 2 ، 6 ، 7 ، 9 ، 13 فما قيمة الوسط الحسابي للقيم 4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26 بدلالة ل

الحـل:

من حيث أن الوسط الحسابي = مجموع القيم على عددها فإنَّ:

ل = (2 + 6 + 7 + 9 + 13) ÷ 5

5 ل = (2 + 6 + 7 + 9 + 13)

الوسط الحسابي للقيم 4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26 = مجموعها ÷ 5

=(4 + 12 + 14 + 18 + 26) ÷ 5

= 2( 2 + 6+ 7 + 9 + 13) ÷ 5

= 2 × 5 ل ÷ 5

= 2 ل

أو :

بحساب ذلك من مفهوم تأثر الوسط الحسابي بالعمليات الحسابية على قيمه فالقيم الجديدة ( 4 ، 12 ، 14 ، 18 ، 26) هي القيم السابقة ( 2 ، 6 ، 7 ، 9 ، 13) مضروب مفرداتها في 2 ومن حيث الوسط الحسابي ل للأولى فالقيم الجديدة وسطها الحسابي هو ل × 2 = 2 ل

لاحظ:

المتوسط الحسابي للقيم 1 ، 5 ، 6 ، 8 ، 12 هو ل – 1 لأن هذه القيم هي القيم السابقة مطروح من مفرداتها العدد 1

المتوسط الحسابي للقيم 6 ، 10 ، 11 ، 13 ، 17 هو ل + 4 لأن هذه القيم هي القيم السابقة مضاف لكل من مفرداتها العدد 4

المتوسط الحسابي للقيم 1 ، 3 ، 3.5 ، 4.5 ، 6.5 هو ½ل لأن هذه القيم هي القيم السابقة مقسوم كل من مفرداتها على العدد 2

كما يمكن إجراء أكثر من عملية كإضافة عدد لكل مفردة ثم قسمة النواتج على عدد فالوسط الجديد = الوسط السابق مضاف له العدد ومن ثم يقسم على العدد الآخر.

مثال :

مثال(13)

1) العلامات 40 ، 16 ، 80 ، 100 ، س تائية فما قيمة س

2) العلامات 4 ، 6 ، 9 ، 10 ، س زائية فما قيمة س

3) العلامات 70 ، 80 ، 90 ، 100 ، س ساتية (AST) فما قيمة س

الحـل:

مجموع العلامات التائية = 50 ن والزائية = 0 والساتية = 500 ن وذلك من:

T= 10Z + 50

∑T = 10∑Z + 50n

∑T = 50n ,such as ∑Z=0

∑T = 50n

بالمثل للدرجات الساتية يكون مجموعها 500ن

SAT= 100Z + 500

∑(SAT) =100∑Z + 500n

∑SAT = 500n ,such as ∑Z=0

∑SAT = 500n

بناء على ما سبق يكون:

1) 14+ 16 + 80 + 100 + س = 50 × 5

210 + س = 250

س = 40

2) 4 – 6 + 9 – 10 + س = 0

13 – 15 + س = 0

س = 2

3) 600 + 700 + 400 + 500 + س = 500 ×5

2200 + س = 2500

س = 160

امثلة الوسط الحسابي 2

مثال (9) الوسط الحسابي من بيانات مبوبة

(1) باستخدام البيانات الواردة في الجدول التالي لدرجات 60 طالب في مادة الإحصاء احسب الوسط الحسابي بطريقتين (مركز الفئة والوسط الفرضي)

Total	70 - 79	60 - 69	50 - 59	40 - 49	30 - 39	20 - 29	10 - 19	Intervals
60	7	9	14	12	8	6	4	Frequency

الحــل:

باستخدام مراكز الفئات(Mid Interval):

نكون جدول تكراري يضم مراكز الفئات وآخر يشمل F × X بالشكل التالي:

F × X	Mid Interval (X)	Frequency (F)	Intervals
58	14.5	4	i10 - 19
147	24.5	6	i20 - 29
276	34.5	8	i30 - 39
534	44.5	12	i40 - 49
763	54.5	14	i50 - 59
580.5	64.5	9	i60 - 69
521.5	74.5	7	i70 - 79
2880		60	Total

الوسط الحسابي = 2880 ÷ 60

= 48

The Mean = 2880 / 60

= 48

باستخدام الوسط الفرضي

نكون جدول تكراري الفرق عن الوسط الفرضي 44.5 بالشكل التالي:

F × D	Deviations (X – 44.5)	Mid Interval (X)	Frequency (F)	Intervals
– 120	14.5 – 44.5 = – 30	14.5	4	10 - 19
– 120	– 20	24.5	6	20 - 29
– 80	– 10	34.5	8	30 - 39
0	0	44.5	12	40 - 49
140	10	54.5	14	50 - 59
180	20	64.5	9	60 - 69
210	30	74.5	7	70 - 79
210	0		60	Total

الوسط الحسابي = 44.5 + (210 ÷ 60)

= 48

The Mean = 44.5 + (210 / 60 )

= 48

باستخدام الوسط الفرضي مع الاختصار (الطريقة المختصرة)

يمكن القسمة على طول الفئة (10) لعمود الفروق ( Deviations ) ووضع النواتج في عمود جديد كالتالي:

F × (D/10)	Deviations /10	Deviations (D)	Mid Interval (X)	Frequency (F)	Intervals
4 ×(– 3) = – 12	– 3	– 30	14.5	4	10 - 19
– 12	– 2	– 20	24.5	6	20 - 29
– 8	– 1	– 10	34.5	8	30 - 39
0	0	0	44.5	12	40 - 49
14	1	10	54.5	14	50 - 59
18	2	20	64.5	9	60 - 69
21	3	30	74.5	7	70 - 79
21				60	Total

الوسط الحسابي = 44.5 + (21 ÷ 60) × 10

= 48

مثال(11)

الوسط الحسابي لدرجات 40 طالب في الإحصاء هو 64 بانحراف معياري قدره 5، حذفنا 4 علامات من كل طالب ثم ضربنا كل درجة من درجات الطلاب في 2. احسب كل من الوسط الحسابي والانحراف المعياري الجديد.

الحـل:

نعلم بأن الوسط الحسابي يتأثر بالتغير في المفردات بالزيادة والنقصان والضرب والقسمة في حين لا يتأثر الانحراف المعياري بالجمع والطرح ويتأثر بالضرب والقسمة.

الوسط الحسابي الجديد = (الوسط الحسابي الأول – 4 ) × 2

= (64 – 4) × 2

= 120

الانحراف المعياري الجديد = الانحراف المعياري الأول ÷ 2

= 5 ÷ 2

= 2.5

أو

مجموع الدرجات

الوسط الحسابي = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

عددها

مجموع الدرجات

64 = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ

مجموع الدرجات = 64 × 40 = 2560

استبعدت 4 درجات من كل مفردة فيكون مجموع الدرجات بعد الحذف:

مجموع الدرجات الجديد = 2560 – 40 × 4 = 2560 – 160 = 2400

ضربت كل مفردة في 2 أي ضاعفنا كل مفردة أو ضاعفنا مجموع الدرجات فيكون:

مجموع الدرجات الجديد بعد الحذف والضرب = 2400 × 2 = 4800

4800

الوسط الحسابي الجديد = ـــــــــــــــــــــ

= 120

(1) من الجدول التكراري الآتي:

Total	18	16	14	12	10	8	6	4	2	Interval
64	5	6	7	9	11	9	7	6	4	Frequency

أوجد قيمة الوسط الحسابي بطرقه المختلفة.

الحـل:

لاحظ: في البيانات المبوبة قانون الوسط الحسابي هو: X = (∑x_i f_i) / ∑f_i`وللوسط الفرضي: X₀ = (∑D_i f_i) / ∑f_i`حيث أن: i = 1 , 2 , ... , n ، ∑f_i = n

نكون الجدول الآتي:

X₁ × F	Mid Interval (X₁)	Frequency (F)	Interval (X)
12	3	4	2 –
30	5	6	4 –
49	7	7	6 –
81	9	9	8 –
121	11	11	10 –
117	13	9	12 –
105	15	7	14 –
102	17	6	16 –
95	19	5	18 –
712		64	Total

Mean = 712 / 64

= 11.125

باستخدام الوسط الفرضي (Fictitious Mean):

X₂ × F	Deviations (X₂)	Mid Interval (X₁)	Frequency (F)	Interval (X)
– 32	– 8	3	4	2 –
– 36	– 6	5	6	4 –
– 28	– 4	7	7	6 –
– 18	– 2	9	9	8 –
0	0	11	11	10 –
18	2	13	9	12 –
28	4	15	7	14 –
36	6	17	6	16 –
40	8	19	5	18 –
8	0		64	Total

نختار X₀=11 كوسط فرضي.

Mean = 11 + 8 / 64

= 11 + 0.1257

= 11.125

باستخدام الطريقة المختصرة:

بإضافة عمود جديد بقسمة الانحرافات على طول الفئة:

(X₂/ 2) × F	X₂ / 2	Deviations (X₂)	Mid Interval (X₁)	Frequency (F)	Interval (X)
– 16	– 4	– 8	3	4	2 –
– 18	– 3	– 6	5	6	4 –
– 14	– 2	– 4	7	7	6 –
– 9	– 1	– 2	9	9	8 –
0	0	0	11	11	10 –
9	1	2	13	9	12 –
14	2	4	15	7	14 –
18	3	6	17	6	16 –
20	4	8	19	5	18 –
4	0	0		64	Total

Mean = 11 + (4 / 64) × 2

= 11 + 0.125

= 11.125

مثال(12)

مجتمع إحصائي مكون من 25 مفردة وانحرافه المعياري 6 فما قيمة مجموع مربعات انحرافات قيم المفردات عن متوسطها الحسابي.

الحـل:

نعلم أن العلاقة الرياضية الخاصة بالانحراف المعياري هي :

مجموع مربعات انحراف القيم عن متوسطها

مربع الانحراف المعياري = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

عددها

مجموع مربعات انحراف

36 = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مجموع مربعات انحراف = 36 × 25 = 900

لاحظ:

هناك علاقة أخرى تخص الانحراف المعياري للعينة وهي:

وفي حالة المجتمع نستبدل n – 1 بـ N (عدد القيم) وإن مربع الانحراف المعياري هو التباين σ² فمثلاً:

لدينا 36 قيمة تكون مجتمع إحصائي وكان مجموع مربعات هذه القيم 196 في حين مجموع القيم نفسها يساوي 35 فما قيمة التباين؟

بتطبيق العلاقة السابقة نجد أنَّ:

175 – 35 × 35 ÷ 35 140

التباين = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = 4

35 35

لاحظ: الانحراف المعياري = 2

The Mean = 44.5 + (21 / 60 ) * 10

= 48

امثلة الوسط الحسابي 1

مثال (1): أوجد المتوسط الحسابي لمجموعة القيم 3، 5، 8، 11، 3

الحـــــــل: مجموع القيم = 3 + 5 + 8 + 11 + 3 = 30

عدد القيم = 5

الوسط الحسابي = 30 ÷ 5

= 6

أو

ــــ س₁+ س₂ + س₃ + ... + س_ن

س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ 3 + 5 + 8 + 11 + 3 30

س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = 6

5 5

مثال (2): إذا كان الوسط الحسابي لمجموعة القيم 2، 5، 9، 13، س ، 6 يساوي 7 فما قيمة س؟

الحـــــــل: مجموع القيم = 2+ 5 +9 +13 + س + 6 = 35 + س

عدد القيم = 6

ــــ x₁ + x₂ + x₃ + ..... + x_n

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ_{d 2 + 5 + 9 + 13 + x + 6}

X = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

_{d 35 + x}

7 = ــــــــــــــــ

42 = 35 + x

x = 42 – 35

x = 7

مثال (3): أوجد المتوسط الحسابي لمجموعة القيم 3، 5، 8، – 7، – 4

الحـــــــل:

ــــ س₁+ س₂ + س₃ + ... + س_ن

س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ 3 + 5 + 8 +(–7) + (–4) 5

س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ = 1

5 5

ــــ x₁ + x₂ + x₃ + ..... + x_n

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ_{d 3 + 5 + 8 + (–7) + (–4)}

X = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ_d 5

X = ــــــــ

ــــ

X = 1

مثال (4): أوجد الوسط الحسابي لمجموعة القيم 0.5، 1.5، 3، 2.5، 4.5، 3، – 2، 0، 2 مقرباً لرقم عشري واحد

الحـــــــل:

ــــ س₁+ س₂ + س₃ + ... + س_ن

س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ 0.5 + 1.5 + 3 + 2.5 + 4.5 + 3 + (– 2) + 0 + 2 15

س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ = 1.7

9 9

ــــ x₁ + x₂ + x₃ + ..... + x_n

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ_{d 0.5 +1.5 + 3 + 2.5 + 4.5 + 3 +(–2) + 0 + 2}

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ_d 15

X = ــــــــــ

ــــ

X = 1.7

مثال (5): إذا كان الوسط الحسابي لدرجات 7 طلاب هو 60 وكانت درجاتهم 26، 55، 80، س، 90، ص، 49 فما قيمة الدرجة س؟ علماً بأن ص = 2س

الحـــــــل:

ــــ س₁+ س₂ + س₃ + ... + س_ن

س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ 26 + 55 + 80 + س + 90 + 2س + 49 300 + 3س

س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ

7 7

300 + 3س

60= ـــــــــــــــــــــــــ

420 = 300 + 3س

3س = 120

س = 120 ÷ 3

= 40

ــــ x₁ + x₂ + x₃ + ..... + x_n

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــ_{d 26 + 55 + 80 + x + 90 + 3x + 49}

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

_{d 300 + 3x}

60 = ـــــــــــــــــــ

420 = 300 + 3x

3x = 120

x = 40

مثال (6): إذا كان الوسط الحسابي لدرجات 7 طلاب في الصف الأول الثانوي (1) هو 60 وكان الوسط الحسابي لدرجات 9 طلاب في الصف الأول الثانوي (2) هو 56

وكان الوسط الحسابي لدرجات 8 طلاب في الصف الأول الثانوي (3) هو 64 فما الوسط الحسابي لدرجات الطلاب في الفصول الثلاثة?

الحـــــــل:

ـــ ـــ ـــ ـــ ـــ

n₁ x₁ +n₂ x₂ + n₃ x₃ + ..... + n_n x_n

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

n₁ + n₂ + n₃ + .... + n_n

ـــ

7 × 60 + 9 × 56 + 8 × 64

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

7 + 9 + 8

1436

X = ــــــــــــــ

X = 59.8

تنبيه:

عندما تكون القيم غير متساوية من حيث الأهمية ولمجموعة كبيرة من المفردات تتألف من عدة مجموعات، فيتطلب ترجيح تلك القيم بما يتناسب وأهمية كلاً منها لتصبح عملية حساب وسطها الحسابي مقبولاً وهو ما يعرف بالوسط الحسابي الموزون أو المرجح ( Weighted Mean ) ويخضع للقانون:

سبق وأن ذكرنا في مثال (6) حساب الوسط الحسابي دون التعرض للفظ الموزون أو المرجح

مثال (8): محل يبيع نوع من الفاكهة بأربعة أسعار مختلفة فباع من النوع الأول 5 كيلوجرام بسعر الكيلوجرام 1.2 دينار ومن النوع الثاني 8 كيلوجرام بسعر الكيلوجرام 0.8 دينار ومن النوع الثالث باع 12 كيلوجرام بسعر الكيلوجرام 0.4 دينار أحسب الوسط الحسابي المرجح لسعر بيع الكيلوجرام من هذه الفاكهة.

الحـــــــل:

ــــ_{d 5 × 1.2 + 8 × 0.8 + 12 × 0.4}

X = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

5 + 8 + 12

ــــ_{d 6 + 6.4 + 4.8}

X = ــــــــــــــــــــــــــــ

_d 17.2

= ـــــــــــ

= 0.688