معادلة الخط المستقيم

 

1. صيغة الميل والمقطع (Slope-Intercept Form)

$$y=mx+b$$

• $m$: ميل الخط المستقيم.

• $b$: نقطة التقاطع مع محور $y$.

2. صيغة الميل ونقطة (Point-Slope Form)

إذا كان الميل $m$ يمر بالنقطة $(x_1,y_1)$:

$$y-y_1=m(x-x_1)$$

3. صيغة المقطعين (Intercept Form)

إذا قطع الخط المستقيم محور $x$ عند $a$ ومحور $y$ عند $b$:

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$

4. الصيغة العامة

$$Ax+By+C=0$$

حيث $A,B,C$ ثوابت.

 المثال الأول: إيجاد معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين

أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين $A(1, 2)$ و $B(3, 6)$.

الحل:

1. نحسب الميل $m$:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$$

2. نستخدم صيغة الميل ونقطة:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

نأخذ النقطة $A(1, 2)$:

$$y - 2 = 2(x - 1)$$

3. نبسط:

$$y - 2 = 2x - 2$$ $$y = 2x$$

إذن معادلة الخط المستقيم:

$$y = 2x$$

المثال الثاني: إيجاد معادلة خط مستقيم ميله معلوم ويمر بنقطة

أوجد معادلة المستقيم الذي ميله $m = -\tfrac{1}{2}$ ويمر بالنقطة $(2, 5)$.

الحل:

1. نكتب صيغة الميل ونقطة:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

2. نعوض:

$$y - 5 = -\tfrac{1}{2}(x - 2)$$

3. نبسط:

$$y - 5 = -\tfrac{1}{2}x + 1$$ $$y = -\tfrac{1}{2}x + 6$$

إذن المعادلة:

$$y = -\tfrac{1}{2}x + 6$$